当前位置: 首页 > >

复合函数单调性的判断2

发布时间:

复合函数单调性的判断 复合函数:如果 y 是 u 的函数,记为 y = f (u) ,u 又是 x 的函数,记为 u = g(x) , 复合函数 且 g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集不空 交集不空,则确定了一个 y 关于 x 交集不空 的函数 y = f[g(x)] 。 这时 y 叫做 x 的复合函数, 其中 u 叫做中间变量。
y = f (u) 叫做外层函数, u = g(x) 叫做内层函数。

例 1、已知 g(x)是[m,n]上的减函数,且 a ≤ g(x) ≤ b ,f(x)是[a,b]上的增函数, 求证 f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。 证明:设 m ≤ x1 < x 2 ≤ n , ∵g(x)是[m,n]上的减函数,且 a ≤ g(x) ≤ b , ∴ b ≥ g(x1 ) > g(x 2 ) ≥ a 又∵f(x)是[a,b]上的增函数, ∴ f[g(x1 )] > f[g(x 2 )] 由函数的单调性定义可知,f[g(x)]在[m,n]上是减函数。 同理,我们可以得到下表: t = g(x) y = f (t) y = f[g(x)]

增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可以简记为“同增异减 ,即内外函数的单调性相同时递增, 同增异减” 同增异减 相异时递减。 运用复合法判断函数的单调性时,要注意: (1)、单调区间必须在定义域内; (2)、要确定内层函数 t = g(x) 的值域,否则就无法确定 f(t)的单调性(特别是当 f(t)的单调区间是由几个区间组成时) 注意:(1)、研究函数的单调性,首先必须考虑它的定义域; 注意 (2)、指数函数与对数函数的单调性,当底数是字母时,必须分底数大于 1 和底数大于 0 且小于 1 这两种情况进行讨论; (3)、对于复合函数的单调性,必须考虑 u = g(x) 与 y = f (u) 的单调性,从 而得出 y = f[g(x)] 的单调性; (4)、判断函数的增减性,或者求函数的单调区间,也可画出函数图像求 解。




友情链接: