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最新文档-第五节对坐标的曲面积分36296-PPT精品文档

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第五节 第十章 对坐标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 1 一、有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面 ? 曲面分类 单侧曲面 曲面分内侧和 外侧 莫比乌斯带 (单侧曲面的典型) 曲面分左侧和 右侧 曲面分上侧和 下侧 2 基本概念 . 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 3 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 n? 曲 面 4 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放 5 ? 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦 co ?s cos? co?s 封闭曲面 侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧 ? 设 ? 为有向曲面, 其面元 ?S在 xoy 面上的投影记为 (?S)xy, (?S)xy 的面积为 (??)xy?0, 则规定 (?S)xy ? (?? )xy, ?(??)xy, 0, 当co?s?0时 当 co?s?0时 当co?s?0时 类似可规定 (?S)yz,(?S)zx 6 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 v ? ( P ( x , y , z ) Q ( , x , y , z ) R ( x , , y , z )) 求单位时间流过有向曲面 ? 的流量? . 分析: 若 ? 是面积为S 的*面, n v ? ? ? 法向量: n ? (c,c oo s ,cso ) s 流速为常向量: v ? 则流量 S ??S? vco?s ?Sv?n 7 对一般的有向曲面? , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 v ? ( P ( x , y , z ) Q ( , x , y , z ) R ( x , , y , z )) 用“大化小, 常代变, *似和, 取极限” ni vi n ? 进行分析可得 ??lim ?? 0 i?1 vi ?ni?Si ??? n i? ( c o si,c o si,c o si), 则 ? ??? ? n ? ??? ? ?? lim ?P (i,i,i)co i ? s Q (i,i, i)coi s ??0 i ? 1 ?R (?i,?i,?i)co ?i ?s ?Si n ? ??? ??? ? ? lim ??0 i ? 1 P (i,i,i)? S (i)y z? Q (i,i,i)? ( S i)zx ??? ? R (i,i,i)? S ( i) x y ? 8 2. 定义. 设 ? 为光滑的有向曲面, 在 ? 上定义了一个 向量场 A ? ( P ( x , y , z ) Q ( x ,, y , z ) R ( x ,, y , z )若) 对?, 的任 意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在 n ? ??? ? lim ??0 P (i,i, i)? (S i)yz ??? ??? i ? 1 ? ? Q (i,i,i)? ( S i)zx? R (i,i,i)? ( S i)x y 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作 ?? P ?d yd z? Q d zd x ? R d x d y P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 9 ???Pdydz称为P 在有向曲面?上对 y, z 的曲面积分; ???Qdzdx 称为Q 在有向曲面?上对 z, x 的曲面积分; ???Rdxdy 称为R 在有向曲面?上对 x, y 的曲面积分. 引例中, 流过有向曲面 ? 的流体的流量为 ? ? ?? P ?d y d z? Q d z d x ? R d x d y ? ? ? 若记 ? 正侧的单位法向量为 n ? (co ,cso ,cso ) 令 d S ? n d S ? ( y d z d , d z d x , d x d y ) A ? ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 10 ?? P ?d y d z? Q d zd x ? R d x d y 3. 性质 ????A?ndS ????A?dS k (1) 若 ? ? ? i , 且 ? i 之间无公共内点, 则 i?1 k ?? ?? ? A?dS ? ? i?1 A?dS ?i (2) 用?ˉ 表示 ? 的反向曲面, 则 ?? ? ?A ?dS?? ???A ?dS 11 三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 ? :z ? z (x ,y ) ,(x ,y )? D x y 取上侧, R(x,y,z)是 ? 上的连续函数, 则 ?? ??R(x,y,z)dxdy? R(x,y,z(x, y))dxdy ? Dxy n ?? ? ??? 证: R(x,y,z)dxdy? lim ? ??0 i ? 1 R (i,i, i)? (S i)xy ∵? 取上侧, ?(?Si)xy ?(??i)xy ?i ?z(?i,?i) n ? ? lim ? ?0 i?1 R(?i,?i,z(?i ,?i ))(??i)xy ?? ? R (x,y,z(x),d )yxdy D xy 12 说明: 如果积分曲面 ? 取下侧, 则 ?? ?R(x,y,z)dxdy????DxyR(x,y,z(x, y))dxdy ? 若 ? :x ? x (y ,z ) ,(y ,z ) ? D y z



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